在物理学中，转动惯量是一个描述物体绕轴旋转时惯性的物理量。它与物体的质量分布和转轴的位置密切相关。转动惯量的大小直接影响到物体的旋转状态以及需要施加的力矩。
对于一个质点来说，其转动惯量 \( J \) 可以通过以下公式计算：
\[ J = m \cdot r^2 \]
其中：
- \( m \) 是质点的质量，
- \( r \) 是质点到转轴的距离。
当涉及多个质点或连续质量分布的物体时，转动惯量可以通过积分来求解。例如，对于一个连续体，转动惯量可以表示为：
\[ J = \int r^2 \, dm \]
这里 \( dm \) 表示微小的质量元。
不同的几何形状有不同的转动惯量表达式。例如，对于一个均匀圆盘绕中心轴旋转，其转动惯量为：
\[ J = \frac{1}{2} M R^2 \]
其中 \( M \) 是圆盘的质量，\( R \) 是圆盘的半径。
理解并正确应用这些公式对于解决涉及旋转运动的问题至关重要。无论是机械工程还是天体物理学，转动惯量的概念都扮演着重要的角色。
