【等差等比数列求和公式总结】在数学中，等差数列与等比数列是两种常见的数列类型，它们的求和公式在数列问题中具有重要的应用价值。为了便于理解和记忆，本文对这两种数列的求和公式进行系统性的总结，并通过表格形式清晰展示。

一、等差数列求和公式

等差数列是指每一项与前一项的差为一个常数的数列，这个常数称为公差，记作 $ d $。设首项为 $ a_1 $，末项为 $ a_n $，项数为 $ n $，则其通项公式为：

$$

a_n = a_1 + (n - 1)d

$$

等差数列的前 $ n $ 项和公式为：

$$

S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d

$$

二、等比数列求和公式

等比数列是指每一项与前一项的比为一个常数的数列，这个常数称为公比，记作 $ r $。设首项为 $ a_1 $，末项为 $ a_n $，项数为 $ n $，则其通项公式为：

$$

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

$$

当公比 $ r \neq 1 $ 时，等比数列的前 $ n $ 项和公式为：

$$

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}

$$

当 $ r = 1 $ 时，所有项都相等，此时求和公式为：

$$

S_n = n \cdot a_1

$$

三、公式对比表

四、注意事项

1. 等差数列：若已知首项 $ a_1 $ 和末项 $ a_n $，可以直接使用 $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $。

2. 等比数列：当公比 $ r = 1 $ 时，数列为常数列，求和公式简化为 $ S_n = n \cdot a_1 $。

3. 极限情况：当 $ r < 1 $ 时，无限等比数列的和为 $ S = \frac{a_1}{1 - r} $，但这是另一种特殊情况，不包含在本总结范围内。

五、总结

等差数列与等比数列是数列学习中的基础内容，掌握它们的求和公式对于解决实际问题非常关键。通过对公式的归纳整理，可以更高效地应对相关的数学题型。建议在学习过程中结合实例练习，以加深对公式的理解与应用能力。