【高阶导数十个常用公式】在微积分的学习过程中，高阶导数是一个重要的概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。掌握一些常见的高阶导数公式，有助于提高解题效率和理解函数的变化规律。以下是一些常用的高阶导数公式及其总结。
一、基本函数的高阶导数
| 函数 | 一阶导数 | 二阶导数 | 三阶导数 | n阶导数（n≥1） |
| $ x^n $ | $ nx^{n-1} $ | $ n(n-1)x^{n-2} $ | $ n(n-1)(n-2)x^{n-3} $ | $ \frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k} $（k=1,2,...,n） |
| $ e^x $ | $ e^x $ | $ e^x $ | $ e^x $ | $ e^x $ |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ | $ -\sin x $ | $ -\cos x $ | $ \sin(x + \frac{n\pi}{2}) $ |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ | $ -\cos x $ | $ \sin x $ | $ \cos(x + \frac{n\pi}{2}) $ |
| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ | $ -\frac{1}{x^2} $ | $ \frac{2}{x^3} $ | $ (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^n} $ |
二、复合函数的高阶导数（莱布尼茨公式）
对于两个可导函数 $ u(x) $ 和 $ v(x) $，其乘积的 n 阶导数可以用莱布尼茨公式表示为：
$$
(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}
$$
其中，$ \binom{n}{k} $ 是组合数，$ u^{(k)} $ 表示 $ u $ 的 k 阶导数。
三、常见函数的高阶导数示例
1. 多项式函数
如 $ f(x) = x^5 $，则：
- 一阶导数：$ 5x^4 $
- 二阶导数：$ 20x^3 $
- 三阶导数：$ 60x^2 $
- 四阶导数：$ 120x $
- 五阶导数：$ 120 $
- 六阶导数及更高阶导数：$ 0 $
2. 指数函数
如 $ f(x) = e^{ax} $，则：
- n 阶导数：$ a^n e^{ax} $
3. 三角函数
如 $ f(x) = \sin(ax) $，则：
- 一阶导数：$ a\cos(ax) $
- 二阶导数：$ -a^2\sin(ax) $
- 三阶导数：$ -a^3\cos(ax) $
- 四阶导数：$ a^4\sin(ax) $
- n 阶导数：$ a^n \sin(ax + \frac{n\pi}{2}) $
四、小结
高阶导数是研究函数变化率的重要工具，尤其在分析函数的极值、凹凸性、曲线形状等方面具有重要意义。掌握上述常见函数的高阶导数公式，可以有效提升计算效率与理解深度。在实际应用中，结合莱布尼茨公式处理复合函数的高阶导数问题也十分常见。
通过不断练习与应用，可以更加熟练地运用这些公式解决复杂的数学问题。
