【三角形外接圆的圆心坐标公式】在平面几何中，三角形的外接圆是指经过三角形三个顶点的唯一一个圆。这个圆的圆心称为三角形的外心，它是三角形三条边的垂直平分线的交点。外心到三个顶点的距离相等，即为外接圆的半径。
为了方便计算，我们可以根据三角形三个顶点的坐标，推导出外心的坐标公式。以下是基于解析几何的方法总结，并附有公式表格以供参考。
一、基本概念
- 外心：三角形外接圆的圆心。
- 垂直平分线：过某条边中点且与该边垂直的直线。
- 外心性质：外心是三条边的垂直平分线的交点。
二、外心坐标的计算方法
设三角形三个顶点的坐标分别为：
- $ A(x_1, y_1) $
- $ B(x_2, y_2) $
- $ C(x_3, y_3) $
步骤一：求边AB和边AC的垂直平分线方程
1. 边AB的中点：
$ M_{AB} = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) $
2. 边AB的斜率：
$ k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $（若 $ x_2 \neq x_1 $）
3. 边AB的垂直平分线斜率：
$ k_{\perp AB} = -\frac{1}{k_{AB}} $（若 $ k_{AB} \neq 0 $）
4. 边AB的垂直平分线方程：
使用点斜式：
$ y - \frac{y_1 + y_2}{2} = -\frac{1}{k_{AB}} \left( x - \frac{x_1 + x_2}{2} \right) $
同理可求出边AC的垂直平分线方程。
步骤二：解两条垂直平分线的交点
将两条垂直平分线的方程联立，解得交点坐标，即为外心的坐标 $(x, y)$。
三、直接计算公式（适用于非直角三角形）
对于一般情况，可以使用以下公式直接计算外心的坐标：
$$
x = \frac{
(x_1^2 + y_1^2)(y_2 - y_3) + (x_2^2 + y_2^2)(y_3 - y_1) + (x_3^2 + y_3^2)(y_1 - y_2)
}{
2 \left[ x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right
}
$$
$$
y = \frac{
(x_1^2 + y_1^2)(x_3 - x_2) + (x_2^2 + y_2^2)(x_1 - x_3) + (x_3^2 + y_3^2)(x_2 - x_1)
}{
2 \left[ x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right
}
$$
四、公式总结表
| 公式名称 | 表达式 |
| 外心横坐标公式 | $ x = \frac{(x_1^2 + y_1^2)(y_2 - y_3) + (x_2^2 + y_2^2)(y_3 - y_1) + (x_3^2 + y_3^2)(y_1 - y_2)}{2[x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)]} $ |
| 外心纵坐标公式 | $ y = \frac{(x_1^2 + y_1^2)(x_3 - x_2) + (x_2^2 + y_2^2)(x_1 - x_3) + (x_3^2 + y_3^2)(x_2 - x_1)}{2[x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)]} $ |
五、注意事项
- 若分母为零，说明三点共线，无法构成三角形。
- 该公式适用于任意非退化的三角形。
- 对于特殊三角形（如直角三角形），外心位于斜边中点，可简化计算。
通过以上公式和步骤，我们可以在已知三角形三个顶点坐标的情况下，快速求出其外接圆的圆心坐标。此方法广泛应用于计算机图形学、工程设计及数学建模等领域。
