【怎样判断复合函数单调性】在数学中，复合函数的单调性是分析函数性质的重要内容之一。掌握如何判断复合函数的单调性，有助于我们更深入地理解函数的变化趋势，尤其在导数、极值分析等方面有广泛应用。
一、
判断复合函数的单调性，本质上是对内层函数和外层函数的单调性进行综合分析。复合函数的形式为 $ y = f(g(x)) $，其单调性取决于两个函数的单调性以及它们之间的组合方式。
关键点如下：
1. 确定内外函数：首先明确复合函数的结构，区分出外层函数 $ f(u) $ 和内层函数 $ g(x) $。
2. 分析内外函数的单调性：
- 若外层函数 $ f(u) $ 在定义域上是增函数，且内层函数 $ g(x) $ 在某个区间上也是增函数，则整体复合函数在该区间上是增函数。
- 若外层函数 $ f(u) $ 是增函数，而内层函数 $ g(x) $ 是减函数，则整体复合函数在该区间上是减函数。
- 反之亦然，若外层函数是减函数，需结合内层函数的单调性进行判断。
3. 注意定义域的交集：复合函数的定义域是内层函数输出值属于外层函数定义域的部分，因此需考虑这一部分的单调性。
4. 利用导数判断：若函数可导，可以通过求导来判断复合函数的单调性。即通过计算 $ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ 的符号来判断。
二、表格总结
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 确定复合函数的结构，识别外层函数 $ f(u) $ 和内层函数 $ g(x) $ |
| 2 | 分析外层函数 $ f(u) $ 的单调性（增/减） |
| 3 | 分析内层函数 $ g(x) $ 的单调性（增/减） |
| 4 | 根据内外函数的单调性组合，判断复合函数的单调性 |
| 5 | 若可导，计算导数 $ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $，根据导数符号判断单调性 |
| 6 | 注意复合函数的定义域，确保内外函数的值域与定义域匹配 |
三、示例说明
以函数 $ y = \sin(\ln x) $ 为例：
- 外层函数：$ f(u) = \sin u $，在 $ u \in (-\infty, +\infty) $ 上不是单调的，但在某些区间（如 $ [0, \pi] $）是单调的。
- 内层函数：$ g(x) = \ln x $，在 $ x > 0 $ 上是单调递增的。
因此，在 $ x > 0 $ 的范围内，复合函数 $ y = \sin(\ln x) $ 的单调性取决于 $ \ln x $ 所处的区间。例如，当 $ \ln x \in [0, \frac{\pi}{2}] $，即 $ x \in [1, e^{\frac{\pi}{2}}] $ 时，$ y $ 是增函数；当 $ \ln x \in [\frac{\pi}{2}, \pi] $，即 $ x \in [e^{\frac{\pi}{2}}, e^{\pi}] $ 时，$ y $ 是减函数。
四、总结
判断复合函数的单调性需要结合内外函数的单调性，并注意定义域的限制。通过分析导数或直接比较函数的变化趋势，可以准确判断复合函数的增减性。掌握这些方法，有助于提升对函数行为的理解和应用能力。
